Lokalisierung der niederenergetischen Lösungen eines singulär gestörten elliptischen Neumann-Problems mittels der Geometrie des Gebietsrandes

Zusammenfassung

Für ein glattes Gebiet $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$, $N \ge 2$, mit kompaktem Rand $\partial\Omega$, betrachten wir die singulär gestörte elliptische Gleichung

$-d^2\Delta u + u = f(u)$ auf $\Omega$,

mit homogenen Neumannschen Randbedingungen. Die Abbildung $f$ sei hinreichend glatt, superlinear und habe subkritisches Wachstum. Der Parameter $d$ sei eine positive kleine Zahl. Wir interessieren uns nur für positive Lösungen $u$.

Diese Gleichung läßt sich als Variationsproblem formulieren. Das zugehörige Energiefunktional sei $J_d$. Über die Lösungen mit kleiner Energie ist bekannt, daß sie ein eindeutiges Maximum besitzen, das auf $\partial\Omega$ angenommen wird. Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen der Lage dieser eindeutigen Maxima und der mittleren Krümmung $H$ von $\partial\Omega$. Es zeigt sich, daß niederenergetische Lösungen in der Nähe der kritischen Punkte von $H$ konzentriert sind, und daß nichtausgeartete kritische Punkte von $H$ die Existenz niederenergetischer Lösungen bedingen, die in ihrer Nähe liegen.

Folgende Methode kommt zur Anwendung: Wir zeigen, daß die niederenergetischen Lösungen genau die kritischen Punkte der Einschränkung von $J_d$ auf eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit $Z_d$ sind, die diffeomorph zu $\partial\Omega$ ist. Zur Konstruktion von $Z_d$ verwenden wir die Nehari-Mannigfaltigkeit von $J_d$ und die Grundlösung obiger Gleichung auf $\mathbb{R}^N$. Der Satz folgt, indem wir zeigen, daß sich die Werte von $J_d$ auf $Z_d$ für $d\to 0$ asymptotisch in $C^1$ durch $H$ ausdrücken lassen.